Types of Vitamins

Types of Vitamins

Vitamin A helps prevent skin and other tissues from becoming dry.  It is also needed to make a light-sensitive substance in the eyes.  People who do not get enough vitamin A cannot see well in darkness.  Their eys may get dry.  This can result in infections and lead to blindness.

Vitamin A is found in fish liver oil.  It also is in the yellow part of eggs.  Sweet potatoes, carrots and other darkly colored fruits and vegetables contain substances that the body can change into vitamin A. 

Vitamin B-one is also called thiamine.  Thiamine changes starchy foods into energy.  It also helps the heart and nervous system work well.  Without it, we would be weak and would not grow.  We also might develop beriberi. Apart from rice thiamine is found in beans , peas, nuts, meat and fish.

Another B-vitamin is niacin.  It helps cells use food energy.  It also prevents pellagra -a disease that causes weakness, reddish skin and stomach problems.  Niacin is found in meat, fish and green vegetables.

Vitamin B-12 helps produce red blood cells.  It is found naturally in foods such as eggs, meat, fish and milk products.  It also helps babies of pregnant mothers before they are born .  Vitamin B-12 is found in green leafyvegetables and other foods and citrus fruits.  In some countries, it is added to products like bread.

Vitamin C is needed for strong bones and teeth, and for healthy blood.  It also helps wounds heal quickly.  Because our body stores little vitamin C we must get it every day in foods such as citrus fruits, tomatoes andcabbage.

Vitamin D helps make calcium in the blood.  Calcium is needed for nerve and muscle cells to work normally.  It also is needed to build strong bones.  Ultraviolet light from the sun changes a substance in the skin into vitamin D.  Fish liver oil also contains vitamin D.  In some countries, milk producers add vitamin D to milk so children will get enough.

Vitamin K is needed for healthy blood.  It thickens the blood around a cut to stop bleeding.  Bacteria in theintestines normally produce vitamin K.  It can also be found in pork products, liver and in vegetables likecabbage, and spinach.

Some people fear they do not get enough vitamins from the foods they eat.  So they take products with large amounts of vitamins.  They think these products orvitamin supplements will improve their health and protect them from disease.

Experts note that taking too much of some vitamins can be harmful.  People should be sure to discuss what vitamins they take with their doctors.  This is because some vitamins can cause harmful effects when mixed with medicines.

The World's Most Dangerous Countries

Somalia was named the world’s most dangerous country in 2009. The warzone in Afghanistan came in second and unstable Iraq third. A list of the world’s most dangerous countries was put together by a riskassessment group that rated crime, police protection, the risk of terrorism and stability in the world’s nations.

Somalia was number one on the list for many reasons. The biggest danger is piracy. Modern pirates havecaptured over 40 ships in the past year; however, the country itself is also deep in chaos. Warlords andparamilitary groups rule a state, in which there is no real government.

Afghanistan is a war-torn country in which the Taliban still have much power. Many political experts believe that it is still a main base for Al Qaeda terrorists. Iraq still has an unstable government. Nobody knows what will happen when the Americans leave Iraq.

Other countries at the top of the danger list are African nations like Congo and Sudan. Mexico is thought to be the most dangerous area in Central America because of crime and drug trafficking in the northern part of the country.

The most dangerous states in the world have one thing in common. They have never been functioningdemocracies. They have always been ruled by dictators or foreign countries that left nothing behind.

The safest countries in the world are in Europe. Small, rich nations like Liechtenstein or Luxembourg have almost no crime.

Coffee

Coffee is one of the most popular hot drinks in the world. Almost a third of the world’s population drinks coffee.  People often meet at cafes or coffee shops for a coffee break during the middle of the morning or stop work in the afternoon to drink coffee.

About 7 million tons of coffee are produced every year. Brazil is, by far, the world’s largest coffee producer. About a third of the world’s production comes from this South American country. Other coffee producing countries include Vietnam, Indonesia and Columbia.

The United States is the biggest coffee consumer in the world. About 1.2 billion kilograms of coffee are consumed there every year. Drinking coffee is extremely popular in European countries, like Italy, France and Germany, as well as in Brazil.

The coffee plant

Coffee grows as a green-leaved tree or bush with blossoming white flowers. The coffee shrub originallycomes from Ethiopia but, in the course of time spread to Southeast Asia and South America.

There are two basic types of coffee. Arabica accounts for about 70% of the world’s coffee production. It is grown in the higher regions of central and South America and is popular for its flavor and fragrance. Robusta has spread throughout central and eastern Africa. Although it makes up only thirty per cent of the total coffee production it has become more important because it can resist diseases better. It also has smaller beans and can grow at lower altitudes than Arabica.

Coffee plants grow in the warm and moist climate of the tropics and subtropics. Most coffee trees grow best between 1000 and 2500 meters above sea level.

Coffee trees produce fruits called berries. At first they are yellow, and then become red as they mature. Anaverage coffee tree can produce enough berries to make about a pound (half a kilo) of roasted coffee.

Coffee seeds are grown in nursery beds. After a year they are planted in specially prepared fields. It takes a coffee tree about six years to produce a full harvest of coffee berries.  The largest ones can get up to six meters tall, but they are normally trimmed to a height of 1.5 to 4 meters.

Effects of coffee

Coffee contains caffeine, a substance that stimulates parts of the body, especially heart and muscles. People often drink coffee to help them stay awake or keep them alert. Although coffee has some negative effects it is not thought to be a harmful drink. Children and people who have heart problems should not drink coffee it in great quantities. In decaffeinated coffee the caffeine is extracted in a chemical process.

History of coffee

Coffee originated in the east African highlands in the 6th century. It was then brought to Arabia where people used it as food and medicine. During the 11th century the first coffee drinks came up. In the 16th and 17th centuries coffee became widely popular in Europe when the Turks brought it to Central Europe. In the 17th and 18th century coffee conquered North and South Amercia

Coffee houses soon became popular all over the world. In the 1900s chains of coffee shops developed in Europe and America. Today, Starbucks is the largest coffeehouse chain in the world, with over 20,000 stores in 60 countries.

Types of Coffee drinks

• Espresso is probably the most popular coffee drink in the world. It is made by forcing hot water through apad filled with dark ground coffee. Although there is not much coffee in the cup an espresso is very strong. It is usually drunk black, with no milk added.
• Americano is an espresso with hot water added to make it weaker.
• Café Latte is an espresso with a lot of hot milk and foam added on the top
• Cappuccino is a cup of espresso, together with warm milk and a lot of milk foam at the top. In some coffee shops it is decorated with flaked chocolate or cocoa.
• Cafe Mocha is a cappuccino with chocolate or cocoa added
• Frappe is a cold espresso  that you can get at some coffee shops during the hot summer months
• Turkish coffee is usually thicker than normal coffee. It is made by combining  ground coffee and water to a muddy mixture

Բակտերիաներ

Բակտերիաներ

Բակտերիային բջջի կառուցվածքը

Բակտերիանեռի հիմնական ձևերը

Բակտերիաները կազմում են նախակորիզավորների (պրոկարիոտ) թագավորությունը: Նրանք երկրագնդի հնագույն «բնակիչներն» են. ծագել են մոտ 3 մլրդ տարի առաջ: Բակտերիաներին (հունարեն բակտերիա – ձողիկ) անվանում են նաև մանրէներ: Տարածված են ամենուր՝ հողում, ջրում, օդում, մարդկանց, կենդանիների և բույսերի օրգանիզմներում: Դրանց մեծամասնությունը միակորիզ, մանրագույն, պարզ կառուցվածքով, անզեն աչքով անտեսանելի օրգանիզմներ են:

Բակտերիաների հիմնական կառուցվածքային տարրերն են բջջաթաղանթը, բջջապլազման և նուկլեոիդը: Որոշ ցուպիկաձև բակտերիաներ ցուպիկի ներսում առաջացնում են սպորներ և կոչվում են բացիլներ: Սպորները ձևավորվում են անբարենպաստ պայմաններում (սննդարար նյութերի բացակայություն, միջավայրի բաղադրության ու ջերմաստիճանի փոփոխություն և այլն), ինչը տեսակի պահպանումն ապահովող մեխանիզմ է: Բարենպաստ պայմաններում սպորներն աճում են` առաջացնելով վեգետատիվ բջիջներ: 

Բակտերիաներին հատուկ են ակտիվ և պասսիվ շարժումները: Շատ բակտերիաներ կարող են շարժվել թարթիչների, մտրակիկների և շարժումն ապահովող այլ հարմարանքների օգնությամբ: Բջջի մակերևույթի վրա լինում են 1-ից մինչև մի քանի տասնյակ մտրակիկներ: 

Թթվածնի կարիք ունեցող շարժուն բակտերիաները (օրնակ՝ խոլերայի վիբրիոնը) շարժվում են դեպի միջավայրի թթվածնաշատ տեղեր: 

Քիմիական կազմությամբ բակտերիաները նման են օրգանիզմի մյուս բջիջներին: Նրանց բջիջը պարունակում է ջուր (70–85 %), նուկլեինաթթուներ, սպիտակուցներ, բազմաշաքարներ, ճարպանյութեր, ամինաթթուներ, անօրգանական աղեր և այլն: 

Բակտերիաների որոշ տեսակներ՝ ինքնասունները (ավտոտրոֆներ) օգտագործում են անօրգանական ածխածին (ածխաթթու գազի կամ ածխաթթվի աղերի ձևով), մյուսները՝ տարասունները (հետերոտրոֆներ)՝ օրգանական միացություններ: Տարասուն բակտերիաները բաժանվում են սապրոֆիտների (սնվում են արտաքին միջավայրի օրգանական միացություններով) և մակաբույծների (ապրում են այլ օրգանիզմների հաշվին): Ախտածին բակտերիաների համար հեշտ յուրացվող ածխածնի (խաղողաշաքար և ամինաթթուներ) աղբյուր են օրգանիզմի հյուսվածքային հեղուկները: Ազոտսևեռող բակտերիաները յուրացնում են մթնոլորտի ազոտը և մեծ նշանակություն ունեն Երկրի վրա կյանքի գոյության ապահովման գործում: Բակտերիաները բաժանվում են 3 խմբի՝ օդակյացներ (աերոբներ), անօդակյացներ (անաերոբներ) և պայմանական (ֆակուլտատիվ) անօդակյացներ: Որոշ բակտերիաներ (լուսասինթեզող) բույսերի նման կարող են օգտագործել անմիջապես Արեգակի, մյուսները (քեմոսինթեզող)՝ քիմիական ռեակցիաների, իսկ մեծամասնությունը՝ օրգանական միացությունների (ածխաջրեր, սպիտակուցներ, ճարպեր և այլն) փոխարկումների էներգիան: 

Բակտերիաների հիվանդածնությունը

Վարակիչ հիվանդություններ առաջացնելու բակտերիաների ունակությունը կոչվում է հիվանդածնություն կամ ախտածնություն: Հայտնի բակտերիաների միայն փոքրաթիվ մասն է ախտածին: Դրա համար անհրաժեշտ է, որպեսզի բակտերիան ներխուժի (ինվազիա) օրգանիզմի հյուսվածքների մեջ և թունավոր նյութեր (տոքսիններ) արտադրի: Սննդամիջավայրում կամ օրգանիզմում ակտիվ աճման շրջանում մի շարք բակտերիաներ (բոտուլիզմի, գազային փտախտի, դիզենտերիայի հարուցիչները) արտադրում են արտաթույներ (էկզոտոքսիններ): Դրանք մեծ մոլեկուլային զանգվածով խիստ թունավոր սպիտակուցներ են: Շատ արտաթույներ կարող են ախտահարել որոշակի օրգաններ կամ հյուսվածքներ: Մի շարք բակտերիաների (սալմոնելներ, աղիքային ցուպիկներ, գոնոկոկեր և այլն) թունավոր ազդեցությունը պայմանավորված է նրանց արտադրած ներթույներով, որոնք ավելի պակաս թունավոր են և ընտրողական ներգործություն չունեն: Որոշ բակտերիաների ախտածնության գործոնը պատիճն է և կտրուկ նվազում է ֆերմենտներով կամ այլ միացություններով նրա քայքայման, ինչպես նաև համապատասխան մուտացիաների ենթարկվելու դեպքում: Առանձին բակտերիաների (օրինակ՝ թարախածին ստրեպտոկոկի ախտածնությունը պայմանավորված է հիալուրոնիդազ ֆերմենտով. այն լուծում է շարակցական հյուսվածքի հիմնական նյութը՝ հիալուրոնաթթուն: Ախտածին ստաֆիլոկոկերը սինթեզում են կոագուլազ ֆերմենտ, որն ունի թրոմբինի նման ազդեցություն:

Բակտերիաների գենետիկան

Բակտերիաների գենետիկական ինֆորմացիան գրանցված է ԴՆԹ-ի նուկլեոտիդների առանձնահատուկ հաջորդականության տեսքով: Բակտերիաների մեծամասնությունն ունի ԴՆԹ-ի 1 մոլեկուլ, որը պարունակում է 1–3 հզ. գեն: Քանի որ գեները հսկում են կենսաբանորեն անհրաժեշտ միացությունների սինթեզը, ապա առանձին մուտացիաներ բակտերիաների համար կարող են մահացու լինել: Միաժամանակ մուտացիաների շնորհիվ ստացվել են բակտերիաներ, որոնք հիվանդություն չեն առաջացնում, բայց կարող են ստեղծել իմունիտետ նրա նկատմամբ: Այդպիսի թուլացրած բակտերիաները կիրառվում են որպես կենդանի վակցինա՝ տուբերկուլոզի, սիբիրյան խոցի և այլ հիվանդությունների կանխարգելման համար: Կարևոր նշանակություն ունի նաև հակաբիոտիկների նկատմամբ բակտերիաների կայունության մեխանիզմների բացահայտումը: Այդ նպատակով հիվանդի օրգանիզմից անջատում են բակտերիաներ և որոշում նրանց զգայունությունը հակաբիոտիկի նկատմամբ:

Բակտերիաների առանձին բաղադրիչների ֆունկցիաների և կառուցվածքի ուսումնասիրությամբ բացահայտվել է գեների տեղափոխման երևույթը, ինչի շնորհիվ ներկայումս միկրոօրգանիզմներն օգտագործվում են ժողտնտեսության համար արժեքավոր նյութեր (ֆերմենտներ, հակաբիոտիկներ, վիտամիններ, հորմոններ, կաթնաթթվային մթերքներ, պանիրներ, քացախ, գինի և այլն) արտադրելու համար:

Բակտերիաների 

բազմացումը

  Բակտերիաները չունեն պարզորոշ տարբերակված կորիզ և բազմանում են կիսման եղանակով: Առաջացած դուստր բջիջներն իրենց կազմությամբ և ֆիզիոլոգիական առանձնահատկություններով նման են մայրական բջջին: Արհեստական պայմաններում բակտերիաներ աճեցնելու համար օգտագործում են սննդարար միջավայրեր: Եթե նրանում բազմացումը սահմանափակ չլիներ, ապա 24 ժամ հետո 1 բակտերիայից կստացվեր 10²¹ բջիջ՝ մոտ 4 հզ. տ զանգվածով: Ցածր ջերմաստիճանների նկատմամբ բակտերիաները կայուն են, որոշ տեսակներ կենսունակ են մինչև –19^օC-ում, սպորները՝ նույնիսկ –25^օC-ում, իսկ բարձրի նկատմամբ զգայուն են: Սպորներ չառաջացնող բակտերիաները ոչնչանում են 60–70^օC-ում, սպոր առաջացնողները՝ 100^օC-ից բարձրում:

  Բոտուլիզմի մասամբ մաքրված 5 կգ տոքսինը կամ 7 կգ ստաֆիլոկոկային էնտերոտոքսինը կարող են թունավորել ավելի քան 5 մլն լ ջուր:

Գիշատիչ բույսեր

Գիշատիչ բույսեր Գիշատիչ բույսեր  1.ա, բ. պինգուիկուլա, 2. ցողաբույս կապի, 3. ցողաբույս կլորատերև, 4. դրոզոֆիլա, 5. սառացենիա (ճանճորս),  6. Վեներայի ճանճորս, 7. սափորատունկ, 8. խորշաբույս, 9. ալդրովանդա Գիշատիչ կամ միջատակեր բույսեր են կոչվում այն բազմամյա խոտաբույսերը, թփերը, թփիկները, լիանները, որոնք որսում են մանր միջատներ, հազվադեպ՝ նաև այլ մանր կենդանիներ, և օգտագործում որպես լրացուցիչ (գլխավորապես ազոտային) սնունդ: Հայտնի են մոտ 500 գիշատիչ բույսեր: Տարածված են ամենուրեք, առավելապես՝ արևադարձային և մերձարևադարձային երկրներում: ՀՀ-ում տարածված է խորշաբուսազգիների ընտանիքին պատկանող 3 տեսակ՝ փոքր, միջին և սովորական խորշաբույսերը: Հանդիպում են լեռնային մարզերի (Լոռի, Տավուշ) լճերում, լճակներում և դանդաղահոս ջրերում: Ջրային գիշատիչ բույսերն ազատ լողացող, արմատազուրկ, բազմամյա խոտաբույսեր են: Ցողունի երկարությունը մինչև 100 սմ է: Տերևները կտրտված են, դրանց մի մասը ձևափոխվել է մանր փամփշտիկների, որոնցով որսում են ջրային մանր կենդանիներ, միջատներ, որդեր, թրթուրներ և այլն: Խորշաբույսի կամ ջրատիկի փամփշտիկը կանաչ կամ կապտականաչ է, ունի փոքր անցք (երախ), որը ծածկված է հատուկ փականով, իսկ երախի շուրջը կան միջատներին գրավող լորձապատ մազիկներ: Ազոտային քաղցը, ֆոսֆորի, կալիումի և այլ նյութերի անբավարարությունը նրանք լրացնում են ի հաշիվ կենդանական կերի: Ունեն միջատներ որսալու տարբեր հարմարանքներ՝ սափորիկներ, պարկեր, թարթիչավոր ատամնաձև ելուստներ ու խոռոչներ, յուրահատուկ գունավորում, նաև արտազատում են միջատներին հրապուրող քաղցրավուն, կպչուն ու հոտավետ նյութեր:  Պինգուիկուլայի տերևները ծածկված են գեղձային կարճ ու երկար մազիկներով, որոնք արտադրում են միջատաորս կպչուն, լորձանման նյութ և ֆերմենտներ: Ցողաբույսը (ցողիկը) միջատներին գրավում է գինեկարմիր գեղձակիր թարթիչների արտադրած կպչուն, ցողի կաթիլներ հիշեցնող հեղուկով, ցողատերևը և ալդրովանդան միջատներ են որսում տերևակոթունների վրա եղած խոզանավոր, ծալվող թիթեղիկներով: Ճանճորսի որսացող ապարատները տերևաթիթեղիկների փշիկները կամ խոզաններն են, սափորատունկինը (ցնցղենի) տերևակոթունի վրա դեղին կամ կարմիր, անուշաբույր սափորանման ձևափոխումներն են, որոնց եզրերը շատ ողորկ են, և միջատները նեկտար քաղելու հույսով դրանց վրա նստելիս իսկույն սահում են դեպի հատակը, որտեղ մարսող հեղուկն է: Վերգետնյա գիշատիչ բույսերի արմատային համակարգը թույլ է զարգացած: Կենդանական սնունդն արագացնում է նրանց զարգացումը, ծաղկումն ու պտղատվությունը: Գիշատիչ բույսերը, իրենց հերթին, շատ զգայուն են արտաքին գրգռիչների նկատմամբ:   Գիշատիչ բույսերն իրենց որսացած միջատների հաշվին լրացնում են հողից ստացված սննդանյութում եղած օրգանական նյութերի պակասը:

վեկտոր

1)Ուղղորդված հատվածը կոչվում է վեկտոր։

վեկտորներ M , T , B կետերը այդ վեկտորների սկզբնակետերն են , իսկ N , A , V կետերը` նրանց վերջնակետերը :

2)Վեկտորը կոչվում է զրոյական, եթե նրա սկիզբը և վերջը համընկ- նում են։

Ոչ զրոյականվեկտորի երկարություն կամ մոդուլ կոչվում է TA հատվածի երկարությունը : Համարվում է , որ զրոյական վեկտորի երկարությունը հավասար է 0-ի։

Երկու ոչ զրոյական  վեկտորներ համագիծ են, եթե նրանք գտնվում են կամ միևնույն ուղղի, կամ զուգահեռ ուղիղների վրա։  Զրոյական վեկտորը համագիծ է ցանկացած վեկտորի։


3) Նկարում՝

,վեկտորները համագիծ են

իսկ  վեկտորները տարագիծ են


















Վեկտորները կոչվում են հավասար , եթե նրանք համուղղված են և նրանց երկարությունները հավասար են։ Այսպիսով `  և  վեկտորները հավասար են, եթե  ↑↑  և |‎ |‎ = |‎ |‎ :

4)ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ՀԵՏ

Երկու վեկտորների գումար

Վերցնենք կամայական А կետ և այդ կետից տեղադրենք  վեկտորին հավասար  վեկտորը : Այնուհետև B կետից տեղադրենք  վեկտորին հավասար  վեկտորը :  վեկտորը կոչվում է  և  վեկտորների գումար :

Վեկտորի և թվի արտադրյալը

Ոչ զրոյական  վեկտորի և k թվի արտադրյալ կոչվում է այն  վեկտորը , որի երկարությունը հավասար է |‎k|‎*|‎ |‎ , ընդ որում `  և  վեկտորները համուղղված են , եթե k≥0 , և հակուղղված են , եթե k<0 : Զրոյական վեկտորի և կամայական թվի արտադրյալը համարվում է զրոյական վեկտոր :

OՐԻՆԱԿ

1)Տրված են A(-1;3),B(3;1), O(0;0)կետերը:
Գտնել BAվեկտորի կոորդինատները:
{-4;2}

2)ԳտնելAB հատվածի միջնակետի կոորդինատները:
A=(3-1)/2=1
B=(1+3)/2=2
(1:2)

3)Գտնել AB վեկտորի երկարությունը:
AB{4;-2}
√16+4=√20=2√5

4)Գտնել AOև OB վեկտորների կազմած անկյան աստիճանային չափը:
AO{1;-3};OB{3;1}
<=90

ՀԱՐԹԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՐԹԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ
Հարթաչափություն, երկրաչափության բաժին է, որն ուսումնասիրում է մեկ հարթության պատկանող պատկերների (հարթ պատկերներ) հատկությունները։
ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ
Եռանկյան տեսակներ
Կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, եռանկյունները լինում են ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (բոլոր երեք անկյունները սուր են),հավասարակողմ կամ կանոնավոր (բոլոր երեք կողմերն իրար հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմերը)։

Ուղղանկյուն եռանկյուն
Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկն ուղիղ է կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն:
Ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, մյուս կողմերը` էջեր:
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:
Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի  կեսին:
Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված միջնագիծը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
Պյութագորասի թեորեմ՝ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին:
Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնը ներքնաձիգի միջնակետն է, իսկ շառավիղը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին:
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին:


Հավասարակողմ եռանկյուն
Եռանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են կոչվում է հավասարակողմ կամ  կանոնավոր եռանկյուն:
Հավասարակողմ եռանկյան անկյունները 60° են:
Հավասարակողմ եռանկյան նույն կողմին տարված միջնագիծը, կիսորդն ու բարձրությունը համընկնում են:

Հավասարասրուն եռանկյուն
Եռանկյունը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են:
Հավասար կողմերը կոչվում են սրունքներ, երրորդ կողմը` հիմք:
Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:
Եթե հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից որևէ մեկը 60° է, ապա այդ եռանկյունը հավասարակողմ եռանկյուն է:
Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը, կիսորդն ու միջնագիծը համընկնում են:
Եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է:

Եռանկյան գագաթից տարված բարձրություն է կոչվում այդ գագաթից նրա դիմացի կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահացը։
Եռանկյան բարձրությունները կամ նրանց շարունակությունները հատվում են մի կետում:
Եռանկյան գագաթից տարված կիսորդ է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։
Եռանկյան անկյան կիսորդը դիմացի կողմը բաժանում է կից կողմերին համեմատական մասերի:
 Եռանկյան կիսորդները հատվում են մի կետում:
Եռանկյան կիսորդների հատման կետը եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է:
Եռանկյան միջնագիծ է կոչվում այդ գագաթը և դիմացի կողմի միջնակետը միացնող հատվածը։
Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ, հաշված գագաթից:
Եռանկյունն իր միջնագծով բաժանվում է երկու հավասարամեծ եռանկյունների:
Եռանկյան միջին գիծ է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը։
Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար է այդ կողմի կեսին:
Եռանկյան միջին գիծը եռանկյունը բաժանում է մասերի, որոնց մակերեսների հարաբերությունը 3 է:
Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են մի կետում:
Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնն է:

Եռանկյունների հավասարություն
Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համապատասխան կողմերն ու համապատասխան անկյունները։
Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները՝
·        Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
·        Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
·        Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

Եռանկյունների նմանություն
Եռանկյունները նման են, եթե այդ եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են, իսկ համապատասխան կողմերի հարաբերությունը նույնն է։ Այսինքն ∆ABC և ∆A1B1C1 նման եռանկյունների միջև
{AB}{A_1B_1} = {AC}{A_1C_1} = {BC}{B_1C_1}, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1։
Եռանկյունների նմանության հիմնական թեորեմներն են՝
      - Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին։
-  Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին և այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են։
  -  Երկու եռանկյուններ նման են, եթե մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի կողմերին։


Եռանկյան մակերես
Եռանկյան մակերեսի ամենատարածված հավասարումն է նրա կողմի և այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսը։

Եռանկյան մակերեսը հավասար է երկու կողմերի և նրանցով կազմված անկյան  սինուսի արտադրյալի կեսին:
Եռանկյան մակերեսը հավասար է կողմերի արտադրյալի և նրան արտագծած շրջանագծի շառավղի քառապատիկի հարաբերությանը:
Եռանկյան մակերեսի կարելի է հաշվել  նաև Հերոնի բանաձևով:


                                        ՔԱՌԱՆԿՅՈՒՆ
Քառակուսի
Քառակուսի է կոչվում այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:
 Քառակուսու անկյունագծերը. հավասար են, փոխուղղահայաց են, հատման կետում կիսվում են,
կիսում են քառակուսու անկյունները:
 Քառակուսու մակերեսը հավասար է կողմի քառակուսուն:
Քառակուսու մակերեսը հավասար է անկյունագծի քառակուսու կեսին:

                                     ՇԵՂԱՆԿՅՈՒՆ
Այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, կոչվում է շեղանկյուն:
Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և կիսում են նրա անկյունները:
Շեղանկյան մակերեսը հավասար է նրա հիմքի և բարձրության արտադըրյալին:
Շեղանկյան մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի արտադրյալի կեսին:
Շեղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կողմի քառակուսու և անկյան սինուսի արտադրյալին:
Շեղանկյան բարձրությունը հավասար է նրան ներգծած շրջանագծի տրամագծին:

                                    ՈՒՂՂԱՆԿՅՈՒՆ
Այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, կոչվում է ուղղանկյուն:
Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են:
Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա զուգահեռագիծը

ուղղանկյուն է:
Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է կից կողմերի արտադրյալին:
 Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծի քառակուսու և անկյունագծերի կազմած անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին:


                                             ԶՈՒԳԱՀԵՌԱԳԻԾ
 Զուգահեռագիծ է կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ  առ զույգ զուգահեռ են:
Զուգահեռագծի անկյունների գումարը 360° է:
Զուգահեռագծի որևէ կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:
 Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են: Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են:
 Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին:

Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար և զուգահեռ են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
 Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
 Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա հիմքի և բարձրության արտադրյալին:
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կից կողմերի և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին:

                                                  ՍԵՂԱՆ
Սեղան է կոչվում այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը` ոչ: Զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր, իսկ մյուս կողմերը`կողմնային կողմեր:
 Սեղանը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա կողմնային կողմերը (սրունքները) հավասար են:
Հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են: Անկյունագծերը նույնպես հավասար են:

 Եթե սեղանի հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են, ապա սեղանը հավասարասրուն է:
Եթե սեղանի անկյունագծերը հավասար են, ապա սեղանը հավասարասրուն է:
Շրջանագծին ներգծած սեղանը հավասարասրուն է:
 Սեղանը, որի անկյուններից մեկն ուղիղ է, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան:
 Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է սեղանի հիմքերին և հավասար է նրանց կիսագումարին:
Սեղանի մակերեսը հավասար է միջին գծի և բարձրության արտադրյալին:
Սեղանի մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին:
Եթե սեղանին հնարավոր է ներգծել շրջանագիծ, ապա այդ շրջանագծի շառավիղը հավասար է սեղանի բարձրության կեսին:

                                           ՇՐՋԱՆԱԳԻԾ, ՇՐՋԱՆ
Շրջանագիծ է կոչվում հարթության այն կետերից բաղկացած երկրաչափական պատկերը, որոնք տրված կետից (կենտրոնից) գտնվում են տրված հեռավորության (շառավիղ) վրա:
Շրջանագծի երկու կետերը միացնող հատվածը կոչվում է լար: Շրջանագծի կենտրոնով անցնող լարը կոչվում է տրամագիծ: Շրջանագծի երկու կետերի միջև ընկած մասը կոչվում է աղեղ:
 Ուղիղը, որը շրջանագծի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող:
 Շրջանագծի շոշափողն ուղղահայաց է շոշափման կետից տարված շառավղին:

 Եթե ուղիղն անցնում է շառավղի` շրջանագծի վրա գտնվող ծայրակետով և ուղղահայաց է այդ շառավղին, ապա այն շոշափող է:
Միևնույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածները հավասար են և կազմում են հավասար անկյուններ այդ կետով և շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղղի հետ:
 Լարին ուղղահայաց տրամագիծը (շառավիղը) կիսում է այդ լարը և նրանով ձգված աղեղը:
 Այն անկյունը, որի գագաթը շրջանագծի կենտրոնն է, կոչվում է կենտրոնական անկյուն:
 Շրջանագծի աղեղի աստիճանային չափը այն կենտրոնական անկյան աստիճանային չափն է, որը հենված է այդ աղեղի վրա:
 Այն անկյունը, որի գագաթը գտնվում է շրջանագծի վրա, իսկ կողմերը հատում են շրջանագիծը, կոչվում է ներգծյալ անկյուն:
Ներգծյալ անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա հենված է:
Միևնույն աղեղի վրա հենված ներգծյալ անկյունները հավասար են:
 Տրամագծի վրա հենված ներգծյալ անկյունը ուղիղ է:
Շրջանագծի զուգահեռ լարերի միջև պարփակված աղեղների աստիճանային չափերը հավասար են:
 Անկյունը, որի գագաթը շրջանագծից դուրս է, իսկ կողմերը հատում են շրջանագիծը, չափվում է հատողների մեջ պարփակված աղեղների կիսատարբերությամբ:
Հատվող լարերով կազմված անկյունը չափվում է նրանց անջատած աղեղների կիսագումարով:
 Շոշափողով և լարով կազմված անկյունը չափվում է նրանց մեջ պարփակված աղեղի կեսով:
 Եթե շրջանագծի երկու լարերը հատվում են, ապա լարերից մեկի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին:
 Երկու շրջանագծեր ունեն արտաքին շոշափում, եթե նրանք ունեն
միայն մեկ ընդհանուր կետ և կենտրոնները գտնվում են այդ կետի տարբեր կողմերում:
Արտաքին շոշափման դեպքում շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շրջանագծերի շառավիղների գումարին:
 Շրջանի այն մասը, որը սահմանափակված է աղեղով և աղեղի ծայրակետերը շրջանի կենտրոնին միացնող երկու շառավիղներով, կոչվում է սեկտոր:

Շրջանի այն մասը, որը սահմանափակված է աղեղով և աղեղի ծայրակետերը  միացնող լարով, կոչվում է սեգմենտ:

Տարածաչափություն

1)Պրիզման, որի հիմքերը զուգահեռագծեր են, կոչվում է զուգահեռանիստ: Զուգա-հեռանիստի նիստերը, որոնք ունեն ընդհանուր կող, կոչվում են կից նիստեր, իսկընդհանուր կող չունեցողները` հանդիպակաց նիստեր:
. Զուգահեռանիստի հանդիպակաց նիստերը զուգահեռ են և հավասար:
.Զուգահեռանիստի անկյունագծերը հատվում եմ մի կետում և այդ կետով կիսվում
են:
2)Ուղղանկյունանիստի բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են:
Ուղղանկյունանիստի անկյունագծերը հավասար են:
Ուղղանկյունանիստի ընդհանուր գագաթ ունեցող երեք կողերի երկարությունները կոչվում են ուղղանկյունանիստի չափումներ:
Ուղղանկյունանիստի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է նրա հիմքի պարագծի և բարձրության արտադրյալին:
Sկողմ=2(a+b)c
Ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքերի մակերեսների գումարին:
Sլրիվ=2(a+b)c+2ab                                                      

Ուղղանկյունանիստի ծավալը հավասար է նրա երեք չափումների արտադրյալին:
V=abc
Ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր չափումներն իրար հավասար են, կոչվում է խորանարդ:
a կողով խորանարդի կողմնային մակերևույթի մակերեսը 4a²է:
a կողով խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը 6a² է:
a կողով խորանարդի ծավալը a³ է:
3)Մարմինը, որի մակերևույթը կազմված է վերջավոր թվով բազմանկյուններից,կոչվում է բազմանիստ:
Բազմանիստը, որն առաջանում է երկու զուգահեռ հարթություններում այնպեսդասավորված հավասար բազմանկյունների գագաթների միացումից, երբ միացնող հատվածները զուգահեռ են իրար, կոչվում է պրիզմա :
Պրիզմայի հիմքերի միջև եղած հեռավորությունը կոչվում է պրիզմայի բարձրություն:
Կանոնավոր պրիզմա կոչվում է այն ուղիղ պրիզման, որի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:
Պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերես կոչվում է նրա կողմնային նիստերի մակերևույթների մակերեսների գումարը:
Պրիզմայի լրիվ մակերևույթի մակերես կոչվում է նրա բոլոր նիստերի մակերեվույթների մակերեսների գումարը:
Sլրիվ=Sկողմ+2Sհիմք
Պրիզնմայի ծավալը հավասար է նրա հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալին:
V=SհիմքH
4)Բազմանիստը, որն առաջանում է բազմանկյան և նրա հարթությանը չպատկանող կետի այդ բազմանկյան գագաթներին միացումից, կոչվում է բուրգ:
Բազմանկյունը կոչվում է բուրգի հիմք, իսկ նրա հարթությանը չպատկանող կետը`բուրգի գագաթ:
Բուրգի գագաթը հիմքի գագաթներին միացնող հատվածները կոչվում են կողմնային կողեր: Բուրգի գագաթից նրա հիմքին տարված ուղղահայացը կոչվում է բուրգի բարձրություն:
Բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերես կոչվում է նրա կողմնային նիստերիմակերևույթների մակերեսների գումարը:

Բուրգի լրիվ մակերևույթի մակերես կոչվում է նրա բոլոր նիստերի մակերևույթների մակերեսների գումարը` կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքի մակերեսի գումարը:
Sլրիվ=Sկողմ+Sհիմք
Բուրգի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալի մեկ երրորդին:
V=1/3Sհիմք*H
Կանոնավոր բուրգ է կոչվում այն բուրգը, որի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, և
որի բարձրության հիմքը համընկնում է հիմքի կենտրոնի հետ:
Եռանկյուն բուրգը կոչվում է քառանիստ:
5)Գլանի ծնորդի երկարությունը կոչվում է գլանի բարձրություն, իսկ հիմքի շառավիղը` գլանի շառավիղ:
Եթե հատող հարթությունն անցնում է գլանի առանցքով, ապա հատույթը կոչվում է առանցքային հատույթ: Առանցքային հատույթն ուղղանկյուն է, որի երկու կողմերը գլանի

ծնորդներ են, իսկ մյուս երկուսը` հիմքի տրամագծեր:
Գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքերի մակերեսների գումարին:
Sլրիվ=2πRH+2πR<sup>2</sup>
Գլանի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալին:
V=πR<sup>2</sup>H
6)Կոնական մակերևույթով և շրջանով սահմանափակված մարմինը կոչվում է կոն:
Կոնական մակերևույթը կոչվում է կոնի կողմնային մակերևույթ, իսկ շրջանը` կոնի հիմք: P կետը կոչվում է կոնի գագաթ, կոնական մակերևույթի ծնորդները` կոնի ծնորդներ:
Կոնի գագաթը հիմքի կենտրոնին միացնող ուղիղը կոչվում է կոնի առանցք:
Կոնի գագաթը հիմքի կենտրոնին միացնող հատվածը կոչվում է կոնի բարձրություն:
Կոնի առանցքով անցնող հատույթը կոչվում է առանցքային հատույթ:

Կոնի կողմնային մակերևույթի մակերեսը`S կողմ = π Rl , որտեղ R-ը կոնի հիմքի շառավիղն է, իսկ l -ը` կոնի ծնորդը:
Կոնի լրիվ մակերևույթի մակերեսը` Sլրիվ =πRl  +πR<sup>2</sup> , որտեղ R-ը կոնի հիմքի շառավիղն է, իսկ l -ը` կոնի ծնորդը:
Կոնի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալի մեկ երրորդին:
V=1/3πR²H
7)Գնդային մակերևույթ կոչվում է տարածության բոլոր այն կետերի բազմությունը,որը կազմված է տրված կետից տվյալ հեռավորությունն ունեցող կետերից: Տրված կետը կոչվում է գնդային մակերևույթի կենտրոն, տրված հեռավորությունը կոչվում է գնդային մակերևույթի շառավիղ: Գնդային մակերևույթի որևէ երկու կետ միացնող հատվածը, որն անցնում է կենտրոնով, կոչվում է գնդային մակերևույթի տրամագիծ:
Գնդային մակերևույթով սահմանափակված մարմինը կոչվում է գունդ: Գնդային մակերևույթի կենտրոնը, շառավիղը, տարամագիծը կոչվում են նաև գնդիկենտրոն, շառավիղ, տարամագիծ:
Գնդային մակերևույթի հավասարում՝(x-x0)² + (y-y0)² +(z-z0)²= R²

Ֆունկցիաներ

Ֆունկցիաներ

X թվային բազմությունում որոշված է f թվային ֆունկցիա, եթե այն X բազմությանամեն մի x թվի համապատասխանում է որևէ y թիվ` y = f (x):
Ֆունկցիայի` y = f (x) գրելաձևում x-ը և y-ը փոփոխականներ են, իսկ f տառըխորհրդանշւոմ է այն կանոնը, որով x փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքինհամապատասխանում է y փոփոխականի որոշակի արժեք:  x փոփոխականնանվանում են անկախ փոփոխական, իսկ y-ը` կախյալ փոփոխական: xփոփոխականն անվանում են նաև արգումենտ:
X բազմությունն անվանում են f ֆունկցիայի որոշման տիրույթ և նշանակում` D (f):

Թվային ֆունկցիա

Այն բազմությունը, որը ֆունկցիան կարող է ընդունել կոչվում է ֆունկցիայի արժեքների բազմություն կամ արժեքների տիրույթ և նշանակում E(f):

f(x) = b, x  X, ֆունկցիան իր որոշման տիրույթի կամայական կետում ընդունում է միևնույն՝ b արժեքը: Այսպիսի ֆունկցիան կոչվում է հաստատուն ֆունկցիա:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

f ֆունկցիայի գրաֆիկ անվանում են կոորդինատային հարթության այն (x; y) կետերի բազմությունը, որոնց համար y = f(x):

Որպեսզի կոորդինատային հարթության վրա գտնվող գիծը լինի որևէ ֆունկցիայի գրաֆիկ, անհրաժեշտ է, որ օրդինատների առանցքին զուգահեռ կամային ուղիղ կամ չհատվի այդ գծի հետ, կամ հատվի միայն  մի կետում: 

Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին և երկրորդ քառորդներում է, ապա ֆունկցիան միայն դրական արժեքներ է  ընդունում: Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին և չորրորդ քառորդներում է, ապա ֆունկցիան բացասական x-երի համար որոշված չէ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբսցիասների առանցքի հատման կետերը ցույց են տալիս, թե որ կետում է ֆունկցիան ընդունում 0 արժեքը, իսկ օրդինատների առանցքի հետ հատման կետը որոշվում է ֆունկցիայի՝ զրո կետում ընդունված արժեքով:

Գործողություններ ֆունկցիաների հետ

Տրված են f և g ֆունկցիաները: Դիտարկենք մի նոր՝ F ֆունկցիա, որի արժեքն x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների  գումարին՝

F(x) = f(x) + g(x)

F ֆունկցիան որոշված է այն x կետում, որտեղ որոշված են և´ f, և´ g ֆունկցիաները՝

D(F) = D(f)  D(g): Այս կերպ սահմանված F ֆունկցիան անվանում են f և g ֆունկցիաների գումար՝ F = f + g: Նույն ձևովէլսահմանում ենք ֆունկցիաների տարբերությունը և արտադրյալը:

Այն F ֆունկցիան, որի արժեքն x կետում հավասար է այդ կետում f և g ֆունկցիաների արժեքների տարաբերությանըկոչվում է այդ ֆունկցիաների քանորդ:

Սահմանափակություն, մեծագույն և փոքրագույնարժեքներ

f ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ է և´ վերևից, և´ ներքևից:

Եթե ֆունկցիայի արժեքների բազմությունում կա մեծագույն(փոքրագույն) թիվ, ապա այդ թիվն անվանում են ֆունկցիայի մեծագույն(փոքրագույն)արժեք:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ

sin(-x) = - sin x

tg (-x) = - tg x

ctg (-x) = - ctg x

cos (-x) = - cos x

Այս նույնություններից հետևում է, որ սինուսը, տանգեսը, կոտանգեսը կենտ ֆունկցիաներ են, իսկ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է:

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է սկզբնակետի նկատմամբ:

Եթե դիտարկցած ֆունկցիների որոշման տիրույթները դատարկ չեն, ապա՝

ա)զույգ ֆունկցիաների գումարը, արտադրյալը, քանորդը զույգ ֆունկցիանեեր են

բ)երկու կենտ ֆունկցիաների գումարը կենտ, իսկ արտադրյալն ու քանորդը զույգ ֆունկցիաներ են

Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը և էքատրեմումները

Աճող և նվազող ֆունկցիաներն ունեն ընդհանուր անվանում՝ մոնոտոն ֆունկցիաներ:

Δ միջակայքն անվանում են f ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայք, եթե fֆունկցիան այդ միջակայքի վրա մոնոտոն է, այսինքն՝կա´մ աճող է, կա´մնվազող:

 Ֆունկցիայի մաքսիմումի և մինիմումի կետերն ունեն ընդհանուր անվանում՝էքստրեմումի կետեր: Իսկ ֆունկցիայի մաքսիմումները և մինիմումները կոչվումեն ֆունկցիայի էքստրեմումներ:

Ֆունկցիայի հետազոտման ուրվագիծը և գրաֆիկի կառուցումը

f ֆունկցիայի զրոներ կոչվում են f (x) = 0 հավասարման լուծումները:

X միջակայքն անվանում են ֆունկցիաայի նշանապահպանման միջակայք, եթե այդ միջակայքում ֆունկցիան ընդունում է նույն նշանի արժեքներ:

Ֆունկցիաների հետազոտման գրաֆիկը որպես կանոն բաղկացած է հետևյալքայլերից.

1.      Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը և արժեքների բազմությունը

2.      Պարզել՝ ֆունկցիան պարբերական է, թե՝ ոչ

3.      Պարզել ֆունկցիայի զույգությունը

4.      Որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի և կորդինատային առանցքների հատման կետերը

5.      Գտնել ֆունկցիայի նշանապահման միջակայքերը

6.      Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը

7.      Գտնել ֆունկցիայի էքստրիմումի կետերը և էքստրեմումները

8.      Եթե ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի միջակայքերից, պարզել ֆունկցիայի վարքն այդ միջակայքերի ծայրակետերին մոտենալիս

Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է f (x) = x^a բանաձով տրված ֆունկցիան, որտեղa–ն զրոյից տարբեր թիվ է:

Բնական ցուցիչով աստիճանային ֆունկցիա

Նախ ուսումնասիրենք f (x) = xⁿ աստիճանային ֆունկցիան, այն դեպքում, երբ n–ը կենտ է:

                            իսկ,երբ f (x) = xⁿ բանաձի մեջ  n–ը զույգ է

Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա կոչվում է f (x) = a^x ֆունկցիան, որտեղ a-ն 1-ից տարբեր դրական թիվ է:

Ցուցչային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Լոգարիթմական ֆունկցիա

Լոգարիթմական ֆունկցիա կոչվում է f (x) = log _a x բանաձևով տրված ֆունկցիան,որտեղ a–ն 1-ից տարբեր դրական թիվ է:

Լոգարիթմական ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները.

1.      Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը դրական կիսառանցքն է՝

1.      Ֆունկիայի արժեքների բազմությունն ամբողջ թվային առանցքն է՝ 

1.      Ֆունկցիան մոնոտոն է իր որոշման տիրույթում: Այն աճող է, եթե a > 1 և նվազող`եթե 0< a < 1

2.      Ֆունկցիան 0 արժեքն ընդունում է x = 1 կետում

 ա) a > 1 դեպքում ֆունկցիան բացասական է (0, 1) և դրական` 

միջակայքում

  բ) 0< a < 1 դեպքում ֆունկցիան դրական է (0, 1) և բացասական`

 միջակայքում:

Միևնույն հիմքով լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաները փոխհակադարձֆունկցիաներ են: Նրանց գրաֆիկները համաչափ են y = x ուղղի նկատմամբ:

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ